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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 485: Divergenz, Rotation, Potential, Arbeitsintegral, Zylinder-Koordinaten, Integralsatz von Gauß

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben seien der Körper $ K$, das Vektorfeld $ \vec{F}$ sowie die Kurve $ C: t \to \vec{r}(t)$ mit
$\displaystyle K$ $\displaystyle :$ $\displaystyle y^2 \le z \le 1-x^2 \,,$  
$\displaystyle \vec{F}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left( \begin{array}{c} yz^2 \\ xz^2 \\ 2xyz \end{array}\right) ,... ...\vec{r}(t) = \left(\begin{array}{c} \cos t\\ 1+\sin(t)\\ t \end{array}\right) .$  

a)
Bestimmen Sie die Divergenz, die Rotation sowie ein Potenzial von $ \vec{F}$.

b)
Berechnen Sie für $ t \in [0,2\pi]$ das Arbeitsintegral von $ \vec{F}$ entlang der Kurve $ C$.

c)
Beschreiben Sie $ K$ in Zylinder-Koordinaten $ (\varrho,\varphi,z)$ und berechnen Sie das Volumen von $ K$. Hinweis: Die Projektion von $ K$ in die $ xy$-Ebene ist der Einheitskreis.

d)
Bestimmen Sie mit Hilfe des Integralsatzes von Gauss den Wert des Flussintegrals von $ v$ durch die Oberfläche von $ K$ von innen nach außen.

Lösung:

a)
$ \operatorname{div} \vec{F} =$ $ x^2+$ $ z^2+$ $ xy+$ $ zy$.

$ \operatorname{rot} \vec{F} =$ keine Angabe , $ \left(\begin{array}{c} 2 x^2\\ 2 y^2\\ 2 z^2 \\ \end{array}\right)$ , $ \left(\begin{array}{c} xy \\ yz \\ zx\\ \end{array}\right)$ , $ \vec{0}$ .

Ein Potential von $ \vec{F}$ ist $ U =$ $ x^2y+$ $ xyz^2+$ $ yz+$ $ xzy^2 + c$.

b)
Der Wert des Arbeitsintegrals beträgt auf zwei Nachkommastellen gerundet .

c)
Das Volumen des Körpers beträgt auf zwei Nachkommastellen gerundet .

d)
Das Fluss durch die Oberfläche beträgt auf zwei Nachkommastellen gerundet .

   
(Reif, Prüfungsaufgabe, Frühjahr 2003)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017