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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 491: Lineare Differentialgleichungen zweiter und dritter Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung

$\displaystyle y''' + 3y'' - 4 y = 8 . $

b)
Lösen Sie das Anfangswertproblem

$\displaystyle y'' - 2y' + 5 y = 0 ,\quad y(0) = 0 ,\ y'(0) = 1 . $

c)
Bestimmen Sie die Lösung des Randwertproblems

$\displaystyle 4y'' + y = 0 ,\quad y(0) + y'(0) = y(\pi) + y'(\pi) = 5 . $

d)
Geben Sie die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung

$\displaystyle x^2 y'' -3xy' + 3y = 0 $

an. Hinweis: Die Funktion $ y_1(x) = x$ erfüllt die Differenzialgleichung.

Lösung:

a)
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lässt sich mit frei wählbaren Parametern $ a,b,c$ darstellen als

$ y= a\, \mathrm{exp}\Bigl($ $ x\Bigr) + (b + cx) \, \mathrm{exp}\Bigl($ $ x\Bigr) + $ .

b)
$ y(x)$ hat die Form:

keine Angabe , $ a\,\mathrm{e}^{bx}+c\,\mathrm{e}^{dx}$ , $ (a+bx)\,\mathrm{e}^{cx}+d$ , $ \mathrm{e}^{ax}\,(b\,\sin(dx)+c\,\cos(dx))$ .

Die Koeffizienten lauten (ggf. $ a > c$):

$ a =$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$.

c)
$ y(x)$ hat die Form:

keine Angabe , $ a\,\mathrm{e}^{bx}+c\,\mathrm{e}^{dx}$ , $ (a+bx)\,\mathrm{e}^{cx}+d$ , $ \mathrm{e}^{ax}\,(b\,\sin(dx)+c\,\cos(dx))$ .

Die Koeffizienten lauten (ggf. $ a > c$):

$ a =$ , $ b=$ , $ c=$ , $ d=$.

d)
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lässt sich mit frei wählbaren Parametern $ a,b$ darstellen als

keine Angabe , $ ax\,\left(b\mathrm{e}^{x}+1\right)$ , $ ax^3+bx$ , $ a(x^2+1) + bx$ .


   
(Reif, Prüfungsaufgabe, Herbst 2003)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017