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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 492: Rakete im Landeanflug

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Eine Rakete der Masse $ m=2$ befindet sich im Landeanflug auf einen kugelförmigen Planeten mit Radius $ r_1 = 1$. Die auf sie wirkende Anziehungskraft $ G = G(r)$ ist nach dem Gravitationsgesetz umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstand $ r$ vom Mittelpunkt des Planeten. Auf der Planetenoberfläche wirkt auf die Rakete die Anziehungskraft $ G_1 = 4$. In der Höhe $ r_0 = 2$ werden zum Zeitpunkt $ t_0=0$ bei einer Fallgeschwindigkeit von $ v_0 = 2$ die Bremsraketen gezündet. Diese erzeugen eine konstante Bremskraft $ B$.

a)
Welche resultierende Kraft $ F = F(r)$ wirkt auf die Rakete bei einem Abstand $ r$ vom Planetenmittelpunkt? Hinweis: Nach oben wirkende Kräfte sind positiv, nach unten wirkende Kräfte negativ anzusetzen.

b)
Bezeichne $ t$ die Zeit, dann beschreibt die Funktion $ r(t)$ die Bewegung der Rakete unter dem Einfluss der Kraft $ F$. Geben Sie für diese Funktion eine Differenzialgleichung der Form $ r''(t) = f(r)$ an.

c)
Führen Sie die Differenzialgleichung aus Teil b) in eine Differenzialgleichung erster Ordnung für $ r(t)$ über und bestimmen Sie Bremskraft $ B$ so, dass die Rakete genau auf der Planetenoberfläche zum Stillstand kommt.

d)
In welcher Höhe $ h$ über der Planetenoberfläche hat die Rakete ihre Anfangsgeschwindigkeit $ v_0$ auf die Hälfte reduziert?

Lösung:

a)
$ F(r)$ hat die Form:

keine Angabe , $ -\frac{a}{r^2}+B$ , $ -\frac{a}{r^2}-B$ , $ -\frac{B}{r^2}+a$ .

Dabei ist $ a=$.

b)
$ r''(t) = $ $ B + $ $ / r^2$.

c)
Eine Differentialgleichung erster Ordnung für $ r(t)$ lautet

$ \frac{1}{2}\Bigl(r'(t)\Bigr)^a + b\,Br(t) + c/r(t) =$   const

mit den Parametern $ a=$, $ b=$ , $ c=$.

Die Rakete kommt genau auf der Planetenoberfläche zum Stillstand für $ B = $ .

d)
Die gesuchte Stelle liegt bei $ h = $ .

(Eingabe auf 2 Nachkommastellen runden.)


   
(Reif, Prüfungsaufgabe, Herbst 2003)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017