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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 494: Fluss eines Vektorfelds durch zwei Kugeln


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Für $ (x,y,z) \ne (0,0,0)$ sei ein Vektorfeld der folgenden Form gegeben:

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z) = U(x^2+y^2+z^2) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\
z\end{array} \right) ,\, U(1) = 1
$

a)
Bestimmen Sie die skalare Funktion $ U$ so, daß das Vektorfeld $ \vec{F}$ divergenzfrei ist.

b)
Bestimmen Sie für diese Funktion $ U$ den Fluß von $ \vec{F}$ von innen nach außen für folgende Kugeln:
$\displaystyle K_1:$ $\displaystyle \,\,$ $\displaystyle (x-2)^2+y^2+z^2 = 1$  
$\displaystyle K_2:$ $\displaystyle \,\,$ $\displaystyle x^2+y^2+z^2 = 1$  

Hinweis: Beachten Sie, daß das Vektorfeld $ \vec{F}$ im Ursprung nicht definiert ist.

Lösung:

a)
$ \displaystyle U=(x^2+y^2+z^2)^{\frac{c}{2}}$         mit $ c=$
b)
$ \Phi_{K_1}=$

$ \Phi_{K_2}=$$ \pi$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017