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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 496: Komplexe und reelle Fourier-Reihe der Exponential-Funktion


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei die $ 2\pi$-periodische Funktion
$ f(x)=\exp(x)$ für $ 0<x\leq2\pi$, $ f(x+2\pi)=f(x)$ .
a)
Bestimmen Sie die komplexe Fourier-Reihe von $ f$.
b)
Bestimmen Sie die reelle Fourier-Reihe von $ f$.

Lösung:

a)
$ \displaystyle f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_k\, e^{ikx}$ mit $ c_k=(e^{2\pi}-$$ )/($$ \pi($ $ -\mathrm{i}k))$

b)
$ a_k=(e^{2\pi}-$$ )/($$ \pi($$ +k^2))$ $ k=0,1,2,...$

$ b_k=-k(e^{2\pi}-$$ )/($$ \pi($$ +k^2))$ $ k=1,2,...$


$ \displaystyle f(x)=(e^{2\pi}-$$ )/($ $ \displaystyle \pi) \left[ \rule{0pt}{3ex} \right.
\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(\cos(kx)-k\,\sin(kx))/($ $ +k^2) \left. \rule{0pt}{3ex} \right]$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017