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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 497: Polstellen und Residua einer rational-trigonometrischen Funktion und Integration über die reelle Achse

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Die skizzierten Wege $ C_1$ und $ C_2$ bilden einen Halbkreis.


\begin{picture}(1,.6)(0,0) \put(0,0){\includegraphics[width=\unitlength]{P389_p... ...t(.14,.04){\makebox(0,0){$-R$}} \put(.82,.04){\makebox(0,0){$R$}} \end{picture}

Welche Singularitäten besitzt die Funktion

$\displaystyle f(z) = \frac{ \exp(\mathrm{i} z)}{ (z^2 +1)(z-\mathrm{i})} $

und welche Werte haben die entsprechenden Residuen? Berechnen Sie $ \displaystyle I_1=\int_{C_1+C_2} f(z)\,dz$ für $ R\geq 1000$ und durch Grenzwertbildung $ \displaystyle I_2=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ x \sin x +\cos x}{(x^2 +1)^2}\,dx$.

Hinweis: Benutzen Sie (ohne Beweis): $ \displaystyle\lim_{R \to \infty} \int_{C_2} f(z)\, dz =0$.

Antwort:
$ z=$ ist Polstelle der Ordnung (größerer Wert)
$ z=$ ist Polstelle der Ordnung (kleinerer Wert)
$ \underset{\mathrm{i}}{\operatorname{Res}} f=3/($e$ )$
Integrale:
$ I_1 =($ $ \pi\mathrm{i})/($e$ )$,          $ I_2 =($$ \pi)/($e$ )$
   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 26.  3. 2018