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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 497: Komplexes Kurvenintegral, Residuensatz


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es seien $ C_1$ und $ C_2$ die nachfolgend skizzierten Kurven.


\begin{picture}(1,.6)(0,0)
\put(0,0){\includegraphics[width=\unitlength]{P389_p...
...t(.14,.04){\makebox(0,0){$-R$}}
\put(.82,.04){\makebox(0,0){$R$}}
\end{picture}

a)
Welche Singularitäten besitzt die Funktion

$\displaystyle f(z) = \frac{ \exp(\mathrm{i} z)}{ (z^2 +1)(z-\mathrm{i})}
$

in der oberen Halbebene? Bestimmen Sie die Residuen von $ f$ an diesen Stellen.

b)
Berechnen Sie das Kurvenintegral

$\displaystyle \displaystyle I_1=\int_{C_1+C_2}
f(z)\, dz \ $

für $ R\geq 1000$.

c)
Berechnen Sie mit Hilfe von Teil b) das uneigentliche reelle Integral

$\displaystyle I_2=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ x \sin x +\cos x}{(x^2 +1)^2} \, dx\ .
$

Hinweis: Benutzen Sie (ohne Beweis):

$\displaystyle \displaystyle
\lim_{R \to \infty} \int_{C_2} f(z)\, dz =0
$

Lösung:

a)
$ z=$ist Polstelle der Ordnung . (größerer Wert)
$ z=$ist Polstelle der Ordnung . (kleinerer Wert)

$ \underset{\mathrm{i}}{\operatorname{Res}} f=3/($$ e)$
b)
$ I_1 =($ $ \pi\mathrm{i})/($$ e)$
c)
$ I_2 =($$ \pi)/($$ e)$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017