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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 498: Parametrisierung eines Dreiecks, Divergenz, Rotation und Arbeitsintegral

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Gegeben sei das Dreieck $ \triangle$ mit den Eckpunkten $ (1,0,0)$, $ (0,1,0)$, $ (0,0,1)$. Geben Sie eine Parametrisierung der Dreiecksfläche in der Form $ z=U(x,y)$ an und bestimmen Sie einen Normalenvektor.
b)
Bestimmen Sie die Rotation und die Divergenz des Vektorfelds $ \vec{F}=(\sin(x^2),xy,zy)^t$.
c)
Berechnen Sie das Arbeitsintegral

$\displaystyle W=\int_{\partial\triangle} \vec{F} $

des Vektorfelds $ \vec{F}$ entlang der Randkurve $ \partial \triangle$ des Dreiecks. Die Orientierung der Randkurve sei dabei so gewählt, dass die Eckpunkte in der angegebenen Reihenfolge durchlaufen werden.

Antwort:

a)
$ z=$$ -$$ x-$ $ y$,         $ \leq x \leq$ ,          $ \leq y \leq$ $ -$ $ x$
$ \vec{n}=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
1
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
b)
$ \operatorname{rot}\vec{F}=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
0
,         $ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$		  
$ \operatorname{div}\vec{F}=$ $ x\cos x^2+$$ x+$ $ y$
c)
$ W=$ $ /3$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018