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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 498: Parametrisierung eines Dreiecks, Divergenz, Rotation, Arbeitsintegral


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a)
Gegeben sei das Dreieck $ \triangle$ mit den Eckpunkten $ (1,0,0)$, $ (0,1,0)$, $ (0,0,1)$. Geben Sie eine Parametrisierung der Dreiecksfläche in der Form $ z=U(x,y)$ an und bestimmen Sie einen Normalenvektor.
b)
Bestimmen Sie die Rotation und die Divergenz des Vektorfelds $ \vec{F}=(\sin(x^2),xy,zy)^t$.
c)
Berechnen Sie das Arbeitsintegral

$\displaystyle W=\int_{\partial\triangle} \vec{F}
$

des Vektorfelds $ \vec{F}$ entlang der Randkurve $ \partial \triangle$ des Dreiecks. Die Orientierung der Randkurve sei dabei so gewählt, daß die Eckpunkte in der angegebenen Reihenfolge durchlaufen werden.

Lösung:

a)
$ z=$$ -$$ x-$ $ y$,         $ \leq x \leq$ ,          $ \leq y \leq$ $ -$ $ x$.

$ \vec{n}=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
1
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$

b)
$ \operatorname{rot}\vec{F}=$
$ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
0
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \operatorname{div}\vec{F}=$ $ x\cos x^2+$$ x+$ $ y$

c)
$ W=$$ /3$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017