Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Interaktive Aufgabe 508: Gewöhnliche Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, Transformation hin zu konstante Koeffizienten, Existenz und Verlauf von Lösungen

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	Interaktive Aufgabe 508: Gewöhnliche Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, Transformation hin zu konstante Koeffizienten, Existenz und Verlauf von Lösungen

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a)

Gegeben ist die Differentialgleichung

$\displaystyle \quad t^2 u'' + 4t u' + (2 - t^2) u = 1, \qquad t > 0.$

$\mathrm{a}_1)$: Zeigen Sie, daß sich mittels der Transformation $u (t) = \frac{v (t)}{t^2}$ eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten für ergibt.
$\mathrm{a}_2)$: Geben Sie sämtliche Lösungen an.

b)

Gegeben ist die Differentialgleichung

$\displaystyle y' = - \frac{2x e^{- y}}{(1 + x^2)^2} \; .$

$\mathrm{b}_1)$

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.

$\mathrm{b}_2)$

Wie lautet die Lösung des Anfangswertproblems

$\displaystyle y' = - \frac{2x e^{-y}}{(1 + x^2)^2}\,, \qquad y (0) = y_0\,,$

mit vorgegebenem $y_0 \in \mathbb{R}$ ?

$\mathrm{b}_3)$

Skizzieren Sie grob den Verlauf der Lösungen für die Anfangswerte

i) $y_0 = \ln 2$ , ii)

, iii) $y_0 = - \ln 2$ .

Dabei ist insbesondere anzugeben, ob die Lösungen waagrechte oder senkrechte Asymptoten besitzen.

$\mathrm{b}_4)$

Für welche $y_0 \in \mathbb{R}$ besitzt das obige Anfangswertproblem eine für alle $x \in \mathbb{R}$ existierende Lösung?

Lösung:

a)

$\mathrm{a}_1)$: Durch Tranformation erhält man die Differentialgleichung
.
$\mathrm{a}_2)$: Es gilt $u(t)=t^a(c_1\exp(t)+c_2\exp(bt)+d)$ , $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ , mit
, , .

b)