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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 509: Gewöhnliche Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, Allgemeine Lösung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
$ \mathrm{a}_1)$
Zeigen Sie: Ist $ v=v(t)$ Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle v'' + v \; = \; 0\,, $

so ist $ u(t) \; = \displaystyle{\frac{v(t)}{\sqrt{t}}}$ Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle 4 t^2u'' + 4tu' + (4t^2-1) u \; =\; 0, \quad t>0 \, . $

$ \mathrm{a}_2)$
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle 4 t^2u'' + 4tu' + (4t^2-1) u \; =\; 2t^{5/2} \sin t\,,$    für $\displaystyle t>0 \, . $

b)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$\displaystyle (1+x^2)y' \; =\; 2xy + 2(x^2+1)^2(x-1)\, . $

Geben Sie diejenige Lösung $ \,y(x)\,$ an, für die $ \,y(0)=1\,$ gilt.

Lösung:

a)
$ \mathrm{a}_2)$
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist

$\displaystyle u(t)=t^a\left[\left(c_1+\frac{t^2}{b}\right)\cos(t)+\left(c_2+\frac{t^d}{8}\right)\sin(t)\right]\, , \qquad c_1,c_2\in\mathbb{R} \,, $

mit $ a={}$, $ b={}$, $ d={}$.
b)
Die allgemeine Lösung ist

$\displaystyle y(x)=c(a+x^2)+(x^b-2x)(1-dx^2)\, ,\qquad c\in\mathbb{R}\, , $

mit $ a={}$, $ b={}$, $ d={}$.

Für die Lösung des Anfangswertproblems gilt $ c={}$.


   

(Aus: P. Werner, Diplomvorprüfung HM III für aer, Frühjahr 1994)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017