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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 510: Parameterabhängiges lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Stabilität, Phasenporträt

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben seien die Matrix $ A$ und der Vektor $ b(t)$ mit

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & \alpha^2 -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right) \,, \qquad b(t) =$   e$\displaystyle ^{2t} \left( \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)\,, $

wobei $ \alpha \neq 0$ ein reeller Parameter ist.
a)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des homogenen Systems $ u' = A u $.
b)
Für welche $ \alpha$ gibt es nichttriviale Lösungen des homogenen Systems, welche für alle $ t\in \mathbb{R}$ beschränkt sind? Geben Sie diese Lösungen an.
c)
Bestimmen Sie die stabile und instabile Mannigfaltigkeit des homogenen Systems für $ \alpha = 2$, $ \alpha = 1/2$ und für $ \alpha = -2$.
d)
Sei nun $ \alpha = 1$. Bestimmen Sie die Menge der Gleichgewichtspunkte und die allgemeine Lösung $ u(t)$ des homogenen Systems. Zeigen Sie, daß jede der Ebenen $ E_h: u_1=h$ invariant unter dem Fluß ist (d.h.falls $ u(0) \in E_h$, so ist $ u(t)\in E_h$ für alle $ t\in \mathbb{R}$). Skizzieren Sie das Phasenportrait in der Ebene $ E_0$ und dann in einer weiteren Ebene $ E_h$ mit $ h\neq 0$.
e)
Berechnen Sie für $ \alpha^2 \neq 1$ die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems

$\displaystyle u' = A u + b(t).$

Lösung:

a)
Die allgemeine homogene Lösung ist

$\displaystyle u_h(t)=c_1e^{\lambda_1 t}v_1+c_2e^{\lambda_2 t}v_2+c_3e^{\lambda_3 t}v_3$

mit $ \lambda_1={}$, $ \lambda_2={}$$ +\alpha$, $ \lambda_3=1-{}$$ \alpha$ und $ v_1=\Big($, , $ 1\Big)^{\operatorname t}$,
$ v_2=\Big($ $ \alpha^2+\alpha$, $ \alpha$, $ 1\Big)^{\operatorname t}$, $ v_3=\Big(-\alpha^2-$$ \alpha$, $ \alpha$+, $ 1\Big)^{\operatorname t}$.

b)
Für $ \alpha\in\Big\{$, $ \Big\}$ (aufsteigend sortiert).

Lösung ist jeweils $ u(t)=c\Big($, , 1 $ \Big)^{\operatorname t}$, $ c\in\mathbb{R}$.

c)
Die stabile Mannigfaltigkeit sei $ M_s$, die instabile Mannigfaltigkeit $ M_i$.

Parameter Basisvektor $ v_k$ keine Angabe $ v_k\in M_s$ $ v_k\in M_i$
  $ v_1$
$ \alpha = 2$ $ v_2$
  $ v_3$
  $ v_1$
$ \alpha = 1/2$ $ v_2$
  $ v_3$
  $ v_1$
$ \alpha = -2$ $ v_2$
  $ v_3$
d)
Die Gleichgewichtspunkte sind $ p=c\Big($, $ 1$, $ \Big)^{\operatorname t}$, $ c\in\mathbb{R}$.

e)
Eine partikuläre Lösung ist $ u_p(t)=e^{2t}\Big(1,$ , $ \Big)^{\operatorname t}$. Die zugehörige allgemeine Lösung $ u(t)=u_h(t)+u_p(t)$.

   
(Aus: K. Kirchgässner, Diplomvorprüfung HM III für el, Frühjahr 1997)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017