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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 521: Skizze und Parametrisierung eines Flächenstückes, Flussintegrale, Satz von Gauß

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^3$ seien das Vektorfeld $ \vec{F}= (x, y, z)^{\operatorname t}$ und das Flächenstück

$\displaystyle S=\left\{ (x,y,z)\, :\, (x-1)^2+y^2+\frac{z^2}{4}=1,\, \sqrt{3}\leq z\leq 2\, \right\} $

gegeben.
a)
Skizzieren Sie $ S$.
b)
Finden Sie eine Parameterdarstellung von $ S$ mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen.
c)
Die Fläche $ S$ bildet mit der Kreisscheibe $ K$: $ z=\sqrt{3}$, $ x =1+r\cos\varphi$, $ y=r\sin\varphi$, $ 0 \leq r\le 1/2$, $ \varphi\in [0,\, 2\pi)$, eine geschlossene Fläche. Berechnen Sie mit Hilfe der Parameterdarstellung aus b) den Fluß von $ \vec{F}$ durch $ S$ sowie durch $ K$, jeweils von innen nach außen.
d)
Bestätigen Sie die Ergebnisse von c) mit dem Integralsatz von Gauß.

Lösung:

a)
$ S$ ist Teil eines/einer

keine Angabe , Paraboloids , Ellipsoids , Kegels , Ebene .

b)
$ S$ wird durch
$ \vec{r}(\varrho,\varphi)=\Big($ $ {} + \varrho \cos \varphi, $ $ {} + \varrho \sin \varphi, $ $ {} \cdot\big($ $ {} - \varrho^2\big)^{1/2} \Big)^{\operatorname t}$
mit $ 0\leq \varphi \leq 2\pi$ und $ 0\leq \varrho \leq {}$ parametrisiert.

c)
Fluß durch $ \vec F$: ,      Fluß durch $ \vec K$:

(Eingaben sind auf vier Nachkommastellen zu runden)


   

(Aus: Diplomvorprüfung HM III für el, phys, Herbst 1997, K. Kirchgässner)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017