Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Interaktive Aufgabe 522: Ebene Kurve, Bogenlänge, eingeschlossene Fläche, Fluss, Volumen eines Körpers, Satz von Gauß

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	Interaktive Aufgabe 522: Ebene Kurve, Bogenlänge, eingeschlossene Fläche, Fluss, Volumen eines Körpers, Satz von Gauß

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Gegeben sei die ebene Kurve

$\displaystyle \vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}\cos^{3} t \\ \sin^{3} t\end{array}\right),\qquad t\in [0,2\pi).$

a): Geben Sie eine parameterfreie Gleichung für diese Kurve an.
b): Skizzieren Sie die Kurve und berechnen Sie ihre Bogenlänge.
c): Berechnen Sie den Flächeninhalt des von der Kurve eingeschlossenen ebenen Bereichs mit einem Kurvenintegral unter Anwendung des Gauß'schen Satzes.
d): Berechnen Sie den Fluß $\,$ des ebenen Vektorfeldes $\vec{F}= (x-y,x+y)^{\operatorname t}$ durch von innen nach außen direkt und mit einem Flächenintegral (Gauß'scher Satz!).
e): Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn um die -Achse rotiert.

Hinweis:

$\displaystyle \begin{array}{llrll} {\displaystyle \int \cos^{n}x\, {d}x } & =... ...n} \int \sin^{n-2}x\, {d}x\,.} \end{array} \quad (n \in \mathbb{N},\ n\geq 2)$

Lösung:

a): Parameterfreie Darstellung: mit /
(Eingabe in Form eines vollständig gekürzten Bruchs)
b): Bogenlänge:
c): Flächeninhalt auf vier Nachkommastellen gerundet:
d): Fluss: $\pi$
e): Volumen des Rotationskörpers auf vier Nachkommastellen gerundet:

(Aus: Diplomvorprüfung HM III für el, Herbst 1994, K. Kirchgässner)

[Verweise]

automatisch erstellt am 10. 8. 2017