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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 522: Ebene Kurve, Bogenlänge, eingeschlossene Fläche, Fluss, Volumen eines Körpers, Satz von Gauß

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die ebene Kurve $ C$:

$\displaystyle \vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}\cos^{3} t \\ \sin^{3} t\end{array}\right),\qquad t\in [0,2\pi). $

a)
Geben Sie eine parameterfreie Gleichung für diese Kurve an.
b)
Skizzieren Sie die Kurve und berechnen Sie ihre Bogenlänge.
c)
Berechnen Sie den Flächeninhalt des von der Kurve eingeschlossenen ebenen Bereichs mit einem Kurvenintegral unter Anwendung des Gauß'schen Satzes.
d)
Berechnen Sie den Fluß$ \,$ des ebenen Vektorfeldes $ \vec{F}= (x-y,x+y)^{\operatorname t}$ durch $ C$ von innen nach außen direkt und mit einem Flächenintegral (Gauß'scher Satz!).
e)
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn $ C$ um die $ x$-Achse rotiert.

Hinweis:

$\displaystyle \begin{array}{llrll} {\displaystyle \int \cos^{n}x\, {d}x } & =... ...n} \int \sin^{n-2}x\, {d}x\,.} \end{array} \quad (n \in \mathbb{N},\ n\geq 2) $

Lösung:

a)
Parameterfreie Darstellung: $ x^q+y^q=1$ mit $ q=$ /
(Eingabe in Form eines vollständig gekürzten Bruchs)

b)
Bogenlänge:

c)
Flächeninhalt auf vier Nachkommastellen gerundet:

d)
Fluss: $ \pi$

e)
Volumen des Rotationskörpers auf vier Nachkommastellen gerundet:


   

(Aus: Diplomvorprüfung HM III für el, Herbst 1994, K. Kirchgässner)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017