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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 533: Mehrdimensionale Integration, skalares Potential, Arbeitsintegral

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Es sei

$\displaystyle I = \displaystyle \int\limits_{y=0}^4\; \left[ \, \, \displaysty... ...playstyle \int\limits_{x=0}^ {3 \sqrt{1-y^2/25}} f(x,y) \,dx \right]\,dy\, . $

a1)
Skizzieren Sie die Integrationsbereiche der beiden Doppelintegrale in der $ xy$-Ebene. Welches Doppelintegral ergibt sich für $ I$ bei Vertauschung der Integrationsreihenfolge?

a2)
Berechnen Sie $ I$ für $ f(x,y)\, = \, \displaystyle x \cos \frac{\pi y}{5 \sqrt{9-x^2}}$ .
b)
Gegeben sei das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y) = \left( \begin{array}{c} f(x)(2y+6xy^2) \\ [1ex] f(x)(x+4x^2y) \end{array} \right), $

wobei $ f(x)$ eine in $ \mathbb{R}$ stetig differenzierbare Funktion ist.
b1)
Für welches $ f(x)$ mit $ f(1) = 1$ ist das Vektorfeld $ \vec{F}$ ein Gradientenfeld?
b2)
Berechnen Sie die zugehörige Potentialfunktion $ U(x,y)$ mit $ U(0,0) = 0$.
b3)
Es sei $ C$ eine beliebige stückweise stetig differenzierbare Kurve mit dem Anfangspunkt $ (0,0)$ und dem Endpunkt $ (1,3)$. Welchen Wert hat das Arbeitsintegral

$\displaystyle \int\limits_C\;\vec{F} \cdot d\vec{r} \, , $

wenn in $ \vec{F}$ die in b1 ) ermittelte Funktion $ f(x)$ eingesetzt wird?

Lösung:

a)
a1)
Das Doppelintegral lautet

$\displaystyle I=\int_{x=a}^{b}\int_{y=c}^{d} f(x,y)\, dy \, dx $

mit $ a=$, $ b=$, $ c=$, $ d=$ $ \cdot\Big(1-x^2/$ $ \Big)^{1/2}$.
a2)
$ I=$ (Wert auf vier Nachkommastellen gerundet)
b)
b1)
keine Angabe , $ f(x)=1$ , $ f(x)=\cos(x-1)$ , $ f(x)=x$ , $ f(x)=1+\ln\vert x\vert$

b2)
$ U(1,1)+U(1,0)+U(0,1)=$

b3)
Wert des Arbeitsintegrals:


   

(Aus: Diplomvorprüfung HM III für aer, Herbst 1994, P. Werner)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017