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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 534: Volumen und Normalen eines Körpers im Vektorfeld

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Im $ \mathbb{R}^3$ sei der Körper $ M$, der durch den Graph $ S$ der Funktion $ f(x,y) =4-x^2-2x-y^2$ und der Ebene $ E$ mit der Gleichung $ z=2$ eingeschlossen wird, gegeben.

Das Vektorfeld $ g: \mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}^3$ sei definiert durch

$\displaystyle g: \quad \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}x-y-z-1 \\ y-x \\ -x-1 \end{pmatrix}.$

a)
Skizzieren Sie den Schnitt von $ M$ mit der $ (x,z)$-Ebene.

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild_1} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild_2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild_3} \includegraphics[width=0.5\linewidth]{bild_4}

b)
Wie lauten die nach außen weisenden Normaleneinheitsvektoren $ N_1$ bzw. $ N_2$ von $ \partial M$ in $ (0,0,4)$ bzw. $ (-1,1,2)$?

$ N_1=1\Big/\sqrt{\vphantom{\frac12}}$ $ \Big($,,$ \Big)^t$         $ N_2=\Big($,,$ \Big)^t$

c)
$ \operatorname{div}g = $.

d)
Verwenden Sie der Geometrie des Körpers angepasste Zylinderkoordinaten und ergänzen Sie das Dreifach-Integral so, dass es das Volumen von $ M$ beschreibt:

$ \pi$
$ \displaystyle\int$
$ \sqrt{\vphantom{\frac12}}$
$ \displaystyle\int$
+$ r^2$
$ \displaystyle\int$
$ r\ $d$ z\,$d$ r\,$d$ \varphi$

e)
Das Volumen von $ M$ ist $ \pi\Big/$.

f)
$ \iint\limits_{\partial M} g \cdot n\, \mathrm{d}O =$ $ \pi$.

(Hierbei sei $ n$ der nach außen weisende Normaleneinheitsvektor.)


   
(Aus: Scheinklausur HM III Kimmerle WS03/04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017