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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 535: Potentialaufgabe mit Parameter

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Gegeben seien die Kurven $ C_1,\,C_2$ mit der Darstellung

\begin{displaymath}\begin{array}{rlll} & C_1(t)=(\cos t, t^2 - \pi t, \sin t)^t... ...wie} & C_2(t) = (t,2,1)^t & \text{mit} & t\in[0,1] \end{array}\end{displaymath}

und das Vektorfeld $ g$ mit $ g(x,y,z)=(y^2z^3,\alpha xyz^3,3xy^2z^2 + \alpha )^t$ mit dem reellen Parameter $ \alpha$.

Berechnen Sie $ \operatorname{rot} g$:

$ \operatorname{rot} g=$ $ \Big($$ xyz^2+$ $ \alpha xyz^2$ , , $ yz^3+$ $ \alpha yz^3\Big)^t$

Berechnen Sie $ C_1'(t)$ und $ C_2'(t)$:


$ C_1'(t)=$ $ \Big($$ \sin t$ , $ t-\pi$ , $ \cos t\Big)^t$          $ C_2'(t)=$ $ \Big($ , , $ \Big)^t$

Berechnen Sie das Integral $ I$ = $ \int\limits_{C_2} g\, \mathrm{d}x$.

$ I= $.

Berechnen Sie den Wert des Parameters $ \alpha$, für welchen das Vektorfeld $ g$ ein Potential besitzt:

$ \alpha =$ .

Bestimmen Sie eine zu diesem $ \alpha$ gehörende Potentialfunktion $ u$:

$ u=$ $ xy^2z^3+$ $ y+$ $ z$

und berechnen Sie für dieses $ \alpha$ den Wert des Integrals $ I$ = $ \int\limits_{C_1} g\, \mathrm{d}x$:

$ I= $.


   

(Aus: Scheinklausur HM III Kimmerle WS03/04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017