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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 544: Schaubild und Konvergenz von Fourier-Reihen trigonometrischer Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die $ 2\pi$-periodische Funktion

$\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{rcrl} -\cos x & \mbox{ f''ur }& -\... ...r }& 0&\!\!\! \leq x < \pi \end{array}\right.\; ,\quad f(x+2\pi)=f(x)\; . $


a)
Skizzieren Sie den Graphen von $ f$ im Intervall $ [- \pi, \pi]$.
b)
Warum kommen in der reellen Fourier-Reihe von $ f$ nur die geraden Frequenzen vor? Berechnen Sie die Fourier-Koeffizienten $ a_k$, $ b_k$ von $ f$ und begründen Sie ihr Abklingverhalten in $ k$. Für welche $ x$ konvergiert die Fourier-Reihe $ (Sf)(x)$ punktweise gegen $ f(x)$? Wo konvergiert sie gleichmäßig?
c)
Betrachten Sie nun die $ 2\pi$-periodische Funktion

$\displaystyle g(x) = \left\{ \begin{array}{rcrl} 0 & \mbox{ f''ur }& -\pi&\!\... ...r }& 0&\!\!\! \leq x < \pi \end{array}\right.\; ,\quad g(x+2\pi)=g(x)\; . $

Zeichnen Sie $ g(x)$ in die Skizze aus Teil a) ein. Geben Sie die reelle Fourier-Reihe $ (Sg)(x)$ von $ g$ mit Hilfe von $ (Sf)(x)$ an.


Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

a)
Skizze:
keine Angabe
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{g180_bild2.eps} \includegraphics[width=0.6\linewidth]{g180_bild1.eps}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{g180_bild4.eps} \includegraphics[width=0.6\linewidth]{g180_bild3.eps}
b)
Die reelle Fourier-Reihe von $ f$ enthält nur die geraden Frequenzen, da $ f$
keine Angabe ungerade      $ \pi$-periodisch     
beschränkt      gerade      $ 2\pi$-periodisch     
ist.
Fourier-Entwicklung:
$ f(x)\sim$ $ +{\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty}}$ $ \cos 2kx$ $ +$ $ {\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty}}$
$ k$
$ \underline{\hspace*{4.5cm}}$
$ k^2$ $ +$ $ k\ -\ 1$
$ \sin 2kx$.
Die Fourier-Koeffizienten klingen mit der Ordnung $ O(k^{\,\alpha})$, $ \alpha=$ , ab.

Die Fourier-Reihe konvergiert punktweise

keine Angabe für alle $ x=(2k+1)\pi,\ k\in\mathbb{Z}$
für alle $ x\neq 0$ für alle $ x\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

Die Fourier-Reihe konvergiert gleichmäßig

keine Angabe auf allen offenen Teilintervallen von $ [k\pi, (k+1)\pi]$, $ k\in\mathbb{Z}$
auf ganz $ \mathbb{R}$ auf allen kompakten Teilintervallen von $ (k\pi, (k+1)\pi)$, $ k\in\mathbb{Z}$

c)
Skizze:
keine Angabe
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{g180_bild8.eps} \includegraphics[width=0.6\linewidth]{g180_bild6.eps}
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{g180_bild7.eps} \includegraphics[width=0.6\linewidth]{g180_bild5.eps}

Fourier-Reihe:         $ g(x)\sim$ $ {\displaystyle{\cos\Bigl(\ }}$ $ {\displaystyle{x\ \Bigr) \ +}}$ $ f(x)\,.$


   
(Aus: K. Kirchgässner, Diplomvorprüfung HM I-III für phys, Herbst 1997)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017