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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 554: Homogene lineare Differentialgleichung dritter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle y'''-y''+4y'-4y=0. $

Bestimmen Sie die Nullstellen $ z_1$-$ z_3$ des zugehörigen char. Polynoms und geben Sie diese mit aufsteigenden Beträgen und danach mit aufsteigenden Argumenten $ \in [0,2\pi)$ sortiert ein.
$ z_1=$ $ +$ $ i \ ; \ z_2=$ $ +$ $ i \ ; \ z_3=$ $ +$ $ i$
Geben Sie an, welcher Ansatz zur reellen Lösung der Differentialgleichung für das Fundamentalsystem gewählt werden muß.

keine Aussage  
Ansatz 1 $ y_1(x)=e^{z_1x} \ ; \ y_2(x)=e^{z_2x} \ ; \ y_3(x)=e^{z_3x}$
Ansatz 2 $ y_1(x)=e^{z_1x} \ ; \ y_2(x)=xe^{z_1x} \ ; \ y_3(x)=e^{z_3x}$
Ansatz 3 $ y_1(x)=e^{z_1x} \ ; \ y_2(x)=e^{\mathrm{Re}(z_2)x}\sin(\mathrm{Im}(z_2)x) \ ; \ y_3(x)=e^{\mathrm{Re}(z_2)x}\cos(\mathrm{Im}(z_2)x)$
   
Bestimmen Sie die Konstanten $ c_1$-$ c_3$ so, daß

$\displaystyle y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+c_3y_3(x) $

das Anfangswertproblem

$\displaystyle y(0)=1 \ ; \ y'(0)=5 \ ; \ y''(\pi/4)=e^{\pi/4}-8 $

löst.
$ c_1=$ $ \ ; \ c_2=$ $ \ ; \ c_3=$

   
(Aus: Prüfungsvorbereitungskurs)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017