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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 557: Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie für die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&1 \end{array}\right) $

die Eigenwerte

$ \lambda_1=$     $ \ge$     $ \lambda_2=$     $ \ge$     $ \lambda_3=$

sowie eine Basis aus Eigenvektoren ($ b_i$ ist Eigenvektor zum Eigenwert $ \lambda_i$)

$ b_1=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right),\qquad b_2=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right),\qquad b_3=\left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung $ y=(y_1,y_2,y_3)^t$ des Differentialgleichungssystems $ y'=Ay$.
keine Angabe
$ c_1b_1e^{\lambda_1}+c_2b_2e^{\lambda_2}+c_3b_3e^{\lambda_3}$
$ c_1b_1e^{\lambda_1}+c_2b_2xe^{\lambda_2}+c_3b_3e^{\lambda_3}$
$ c_1b_1e^{\lambda_1}+c_2b_2xe^{\lambda_2}+c_3b_3x^2e^{\lambda_3}$
$ c_1b_1e^{\lambda_1}+c_2b_2e^{\lambda_2}+c_3b_3xe^{\lambda_3}$

Bestimmen Sie die Konstanten $ c_1 - c_3$ so, daß $ y$ das Anfangswertproblem
$ y'=Ay$ ; $ y(0)=\left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)$
löst.
$ c_1= \ $ , $ \ c_2= \ $ , $ \ c_3= \ $

Es gibt Konstanten $ c_1 - c_3$, so daß $ y$ das AWP
$ y'=Ay$
$ \displaystyle\mathop{\lim}_{x\rightarrow\infty} \vert y(x)\vert \rightarrow 0$ und $ y(0)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ 2 \end{array}\right)$
löst. Bestimmen Sie diese.
$ c_1= \ $ , $ \ c_2= \ $ , $ \ c_3= \ $

   
(Aus: Prüfungsvorbereitungskurs)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017