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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 558: Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Jordan-Normalform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei das Differentialgleichungssystem $ y'=Ay$ mit

$\displaystyle A=\frac14 \left(\begin{array}{ccc} 10 & -1 & 9 \\ 4 & 6 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right). $

a)
Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix $ A$ in aufsteigender Reihenfolge ( $ \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3$), und geben sie die Jordan-Normalform $ J$ zu $ A$ an.
$ J= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Vervollständigen Sie nachstehende Transformationsmatrix $ T$, so dass $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ 2$
0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Berechnen Sie die Inverse Matrix $ T^{-1}$ von $ T$.

$ T^{-1}=\frac14 \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

b)
Bestimmen Sie alle Lösungen des transformierten homogenen Systems $ z'=Jz$.
$ z= c_1 e^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ x^2/2$
$ \ x$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_2 e^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \ x$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_3 e^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
1
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Bestimmen Sie alle Lösungen des homogenen Systems $ y'=Ay$.

$ y= x^2e^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
(/ $ 2) c_1 + \ $$ c_2 + \ $$ c_3$
$ c_1 + \ $$ c_2 + \ $$ c_3$
$ c_1 + \ $$ c_2 + \ $$ c_3$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
+
$ xe^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ c_1 + \ $$ c_2 + \ $$ c_3$
$ c_1 + \ $$ c_2 + \ $$ c_3$
$ c_1 + \ $$ c_2 + \ $$ c_3$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
+
$ e^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ c_1 + \ $$ c_2 + \ $$ c_3$
$ c_1 + \ $$ c_2 + \ $$ c_3$
$ c_1 + \ $$ c_2 + \ $$ c_3$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$


   

(Aus: Prüfungsvorbereitungskurs)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017