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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 560: Berechnung eines uneigentlichen Integrals mit Hilfe von Residuen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a) Bestimmen Sie die Polstellen der komplexen Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1-z}{\left(z^2+1\right)^2}$

sowie deren Vielfachheit.
b) Sei $z_0$ die Polstelle von $f$ mit negativem Imaginärteil. Schreiben Sie $f(z)$ in der Form

$\displaystyle f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^2} $

und berechnen Sie das Residuum der Funktion $f(z)$ im Punkt $z_0$.
c) Berechnen Sie das uneigentliche Integral

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1-x}{\big(x^2+1\big)^2}\,\mathrm{d}x\ ,$

indem Sie die Funktion $f(z)$ über den in der Abbildung dargestellten Weg integrieren und eine geeignete Grenzwertbetrachtung durchführen.
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{pic_weg}

Lösung:
a) Polstelle:        $z_0\ =\ $$-$$i$        Vielfachheit:

Polstelle:        $z_1\ =\ $$+$$i$        Vielfachheit:

b)  $g(z)\ =\ \big($$+$ $z\big)\Big/\big($$z+$$i\big)^2$

$g'(z)\ =\ $ $\dfrac{1}{(z-i)^2}+\big($$+$ $z\big)\dfrac{1}{(z-i)^3}$

$\operatorname{Res}(f,z_0)\ =\ $ $\ +\ i\Big/$

c) Nach dem Residuensatz gilt:

keine Angabe
$\displaystyle\operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$
$\displaystyle2\pi i \operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$
$\displaystyle\frac{1}{2\pi i}\operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$
$\displaystyle-2\pi i \operatorname{Res}(f,z_0)=\int_Cf(z)\,dz=\int_{-R}^Rf(x)\,dx+\int_{C_2}f(z)\,dz$

Das zweite Integral lässt sich dabei abschätzen zu

$\displaystyle\left\vert \int_{C_2}f(z)\,dz \right\vert\ \leq\ L(C_2) \max_{t\in [0,\pi]}\left\vert\rule{0pt}{6ex}\right.$
$+$ $R\cdot e^{-it}$
____________________________________
$\big(R^2\cdot e^{-2it}+$$\big)^2$
$\left.\rule{0pt}{6ex}\right\vert\ \le\ \pi R \dfrac{1+R}{(R^2-1)^2}\ \longrightarrow\ $ für $R\longrightarrow\infty$.

und somit

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx\ =\ $$\pi\Big/$

   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12. 12. 2024