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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 561: Rotation, Arbeitsintegral, Potential

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei in Abhängigkeit des Parameters $ a \in \mathbb{N} $ das Vektorfeld $ g_a : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} ^3$ durch

$\displaystyle g_a(x,y,z) = (z^a , -2zy \cos (y^a) , 2zx - \sin (y^a) )^t.$

a)
Berechnen Sie $ \operatorname{rot} g_a$:
$ \operatorname{rot} g_a=$ $ \Big($ $ ay^{a-1}\cos(y^a)+$ $ y\cos(y^a)\ ,\ $ $ az^{a-1}+$$ z\ ,\ $$ a+$$ z\Big)$
b)
Für welchen Wert des Parameters $ a$ besitzt das Vektorfeld $ g_a$ ein Potential ?
$ a =$
c)
Bestimmen Sie eine zu diesem $ a$ gehörende Potentialfunktion $ u$:
$ u=$ $ z^2x+$$ zx+$ $ z\sin(y^2)+$$ zy\sin(y)$
d)
Im $ \mathbb{R} ^3$ sei $ C$ der Halbkreis um $ (2,0,0)$ mit Radius $ 1 ,$ der bei $ (2,0,1)$ beginnt und über $ (1,0,0)$ zu $ (2,0,-1)$ führt. Geben Sie eine Parameterdarstellung von $ C$ an:
$ \Big($$ +$ $ \cos(t)\ ,\ $$ +$$ t\ ,\ $$ +$ $ \sin(t)\Big)$     $ \pi\big/$$ \le t\le$$ \pi\big/$

e)
Berechnen Sie $ \displaystyle g_1\big(C(t)\big)\cdot C'(t)$
$ \sin^2t+$ $ \sin t \cos t+$$ \cos^2t+$ $ \cos^2t\sin t$

f)
Berechnen Sie $ I_1 = \int\limits_{C} g_1 \, \mathrm{d}x$ und $ I_2$ = $ \int\limits_{C} g_2 \, \mathrm{d}x$
$ I_1 =$$ \pi\Big/$         $ I_2 =$

Hinweis: Es ist

$ \dfrac{d}{dt} \big(t-\sin(t)\cos(t)\big)$ $ =$ $ 2\sin^2(t)$
$ \dfrac{d}{dt} \sin^2(t) $ $ =$ $ 2\sin(t)\cos(t)$
$ \dfrac{d}{dt} \cos^3(t) $ $ =$ $ -3\sin(t)\cos^2(t)$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017