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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 563: Exakte Differentialgleichung und integrierender Faktor, explizite Form und Tangente an Lösungskurve

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Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle \underbrace{4xy-1}_p+\underbrace{\frac{x}{y}}_qy'=0.$

a)
Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
$ p_x\cdot q\ =\ $$ x$         $ q_y\ =\ $ $ \dfrac{x}{y^2}$         $ q_x-p_y\ =\ $ $ \dfrac{1}{y}\ +\ $$ x$
b)
Berechnen Sie einen von $ y$ abhängigen integrierenden Faktor $ \mu$. Zur Berechnung muss man folgende Differentialgleichung lösen:
$ \dfrac{\mu'}{\mu}\ =\ $$ y$
 
         $ \mu(y)\ =\ $$ y$
 
c)
Berechnen Sie zu der exakten DGL eine Potentialfunktion $ F$, so dass $ F(x,y)~=~c$ implizite Lösungen sind.
$ F(x,y)\ =\ $ $ x^2\ +\ $$ xy\ +\ $ $ \dfrac{x}{y}$
d)
Bestimmen Sie eine explizite Lösung $ y_{\mathrm{s}}$, welche durch den Punkt $ P=(1,1)$ geht.
$ y_{\mathrm{s}}\ =\ $ $ x\Big/\big($ $ x^2\ +\ $$ \big)$
e)
Wie lautet die Steigung der Tangente in $ Q=(2,1)$ der Lösung, die durch $ Q$ geht?
$ \Big/$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017