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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 564: Volumen- und Schwerpunktberechnung eines Körpers

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Der Körper $ K$ sei bestimmt durch

$\displaystyle K=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 0\leq x,\ 0\leq y,\ 0\leq z \leq 3-\sqrt{x^2+y^2} \right\}\,. $

a)
Skizzieren Sie den Schnitt von $ K$ mit der Ebene $ y=0$ . Bestimmen Sie das Volumen $ V$ , das Moment $ M_z$ und die z-Koordinate des Schwerpunkts $ S$ von $ K$ .

(Hinweis: Es können Zylinderkoordinaten verwendet werden.)

b)
Unterhalb von $ K$ soll ein Viertelzylinder $ Z_h$ gegeben durch

$\displaystyle Z_h=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: 0\leq x,\ 0\leq y,\ 0\leq x^2+y^2 \leq 9,\ -h\leq z\leq 0 \right\} $

angebracht werden, so dass der Schwerpunkt von $ K\cup Z_h$ in der $ (x,y)$ -Ebene liegt. Bestimmen Sie $ h$ .

Antwort:

a)
Skizze 1                 Skizze 2
\includegraphics[width=0.35\linewidth]{skizze1}                 \includegraphics[width=0.35\linewidth]{skizze2}
Skizze 3                 Skizze 4
\includegraphics[width=0.35\linewidth]{skizze3}                 \includegraphics[width=0.35\linewidth]{skizze4}
$ V\ =\ $
$ \pi\big/$          $ +$ $ z$
$ \displaystyle\int$      $ \displaystyle\int$      $ \displaystyle\int$
         
$ r\ dr\ dx\ d\varphi\ =\ $ $ \pi\Big/$

$\displaystyle s_z=\frac{M_z}{V}$

$ M_z=\iiint r\ dr\ dx\ d\varphi$
$ M_z=\iiint z\ dr\ dx\ d\varphi$
$ M_z=\iiint rz\ dr\ dx\ d\varphi$
$ M_z=\iiint \frac{r}{z}\ dr\ dx\ d\varphi$
$ M_z\ =\ $ $ \pi\Big/$
$ s_z\ =\ $ $ \Big/$

b)
$ z$ -Koordinate des Schwerpunkts von $ K\cup Z_h$ gleich 0.

$\displaystyle \frac{\iiint_Kz\ dV+\iiint_{Z_h}z\ dV}{V_{K\cup Z_h}}=0$

$ \displaystyle\iiint_{Z_h}z\ dV\ =\ $ $ \pi h^2\Big/$
$ h\ =\ \dfrac{1}{2}$ $ ^{1/2}$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017