Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Interaktive Aufgabe 565: Partielle Differentialgleichung, Separationsansatz

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	Interaktive Aufgabe 565: Partielle Differentialgleichung, Separationsansatz

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a)

Berechnen Sie alle zweimal stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen

und

so dass

$\displaystyle u(x,t) = v(x) \cdot w(t)$

eine nichttriviale Lösung der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle u_{xx} - u_{tt} + u_x = 0$

ist (es genügt die Angabe von

und

b)

Bestimmen Sie alle Lösungen

von Teilaufgabe a), die für alle

die Bedingungen

$\displaystyle u(x,0) = 0 ,\quad u(x, \pi) = 0$

erfüllen.

Lösung:

a)

Welche Gleichung liefert der Separationsansatz?

keine Angabe
$\dfrac{v_{xx}}{v}+\dfrac{v_x}{v}=\dfrac{w_{tt}}{w}+k$
$\dfrac{v_{xx}}{v}+\dfrac{v_x}{v}=\dfrac{w_{t}}{w}+k$
$\dfrac{v_{xx}}{v}+\dfrac{v_x}{v}=\dfrac{w_{tt}}{w}=k$
$\dfrac{v_{xx}}{v}+\dfrac{v_x}{v}=\dfrac{w_{t}}{w}=k$

Für hat das charakteristische Polynom folgende Nullstellen.

$\lambda_{1,2}=\dfrac12\Big($ $\pm\big($

$k\big)^{\frac12}\Big)$

Man erhält folgende Lösungen

	keine Angabe	$k<-\frac14$	$k=-\frac14$	$k>-\frac14$
hline $v(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$
$v(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}$
$v(x)=c_1e^{\operatorname{Re}(\lambda_1)x}\sin(\operatorname{Im}(\lambda_1)x)+c_2xe^{\operatorname{Re}(\lambda_1)x}\cos(\operatorname{Im}(\lambda_1)x)$