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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 566: Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Jordan-Normalform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 1&-3&1\\ -2&0&1\\ -2&1&0 \end{array}\right).$

a)
Berechnen Sie das charakteristische Polynom von $ A$.
$ \lambda^3\ +\ $ $ \lambda^2\ +\ $ $ \lambda\ +\ $

b)
Bestimmen Sie die Eigenwerte von $ A$. Geben Sie zu jedem Eigenwert $ \lambda$ zusätzlich die algebraische Vielfachheit $ e_\lambda$ und die geometrische Vielfachheit $ d_\lambda$ an.

Beginnen Sie mit dem größten Eigenwert.

$ \lambda_1=$        $ e_1=$    $ d_1=$

$ \lambda_2=$        $ e_2=$    $ d_2=$

c)
Bestimmen Sie eine Jordan-Normalform $ J$ von $ A$ sowie eine Transformationsmatrix $ T$ mit $ J=T^{-1}AT$.
$ J\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$          $ T\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
1
1
1
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$

d)
Gegeben sei das DGL-System $ Y'=A Y$. Durch Transformation erhält man das System $ Z'=J Z$. Geben Sie die allgemeine Lösung $ Z$ des transformierten Systems an.
$ Z\ =\ c_1\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda_1x}\ +\ c_2\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda_2x}\ +\ c_3\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda_2x}$

e)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung $ Y$ des DGL-Systems $ Y'=A Y$.
$ Y\ =\ c_1\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda_1x}\ +\ c_2\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda_2x}\ +\ c_3\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda_2x}$

f)
Bestimmen Sie die spezielle Lösung $ Y_\mathrm{s}$, für die $ Y_{\mathrm{s}}(0)=\left(\begin{array}{ccc}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ gilt.

Schreiben Sie die Koeffizienten $ c_1,c_2$ und $ c_3$ als vollständig gekürzte Brüche. Schreiben Sie bei negativen Werten das Vorzeichen in den Zähler.

$ c_1\ =\ $$ \Big/$         $ c_2\ =\ $$ \Big/$         $ c_3\ =\ $$ \Big/$

   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017