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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 576: Fluss von Vektorfeldern durch die Oberfläche eines Zylinders

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Berechnen Sie für das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F}(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} y\mathrm{e}^{z} \\ -x\ma... ...athrm{e}^{z\varrho} \end{array}\right) \; , \qquad \varrho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $

und den Zylinder

$\displaystyle K: \quad x^{2}+y^{2}\leq a^{2}\; , \quad 0\leq z\leq 1 $

mit der Oberfläche $ S$

a)
$ \operatorname{div}\vec F$,
b)
den Fluss von $ \vec{F}$ durch $ S$ nach außen,
c)
den Fluss von $ \operatorname{rot}\vec{F}$ durch $ S$ nach außen.

Antwort:

a)
$ (x+y)\mathrm{e}^{z\varrho}$ , $ \varrho\mathrm{e}^{z\varrho}$ , $ \mathrm{e}^{z\varrho}$ , $ \varrho\mathrm{e}^{z}$ .

b)
$ \iint\limits_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=2\pi\,\Bigl(\exp($ $ \,a)\,\bigl(a-$ $ \,\bigr)+$ $ \, a^2 + $ $ \, a + $ $ \Bigr)$

c)
$ \iint\limits_{S}\operatorname{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S}=$

   
(Autor: Klaus Höllig)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018