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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 578: Parameterabhängiges Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Stabilität


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Bestimmen Sie den Stabilitätstyp (z.B. instabiler Knoten, neutrales Zentrum,$ \ldots$) des Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u'=\left(
\begin{array}{cc}
\alpha & -3 \\ 1 & -\alpha
\end{array}\right)u
$

im Ursprung $ (0,0)^{\operatorname{t}}$ in Abhängigkeit von dem reellen Parameter $ \alpha$ mit $ \vert\alpha\vert\neq \sqrt{3}$.


Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für $ \alpha=2$ und geben Sie alle Anfangswerte $ u(0)$ an, für die $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}u(t)=(0,0)^{\operatorname{t}}$.

Lösung:

Stabilitätstyp des Ursprungs für

$ \alpha < \sqrt{3}:$ keine Angabe , instabiler Knoten , stabiler Knoten ,

                 neutrales Zentrum , instabiler Sattel .

$ \alpha > \sqrt{3}:$ keine Angabe , instabiler Knoten , stabiler Knoten ,

                 neutrales Zentrum , instabiler Sattel .

Allgemeine Lösung für $ \alpha=2$:      $ u(t) = c_{1}e^{\lambda_1 t}\left(\begin{array}{c} a \\ 1 \end{array}\right)+
c_{2}e^{\lambda_2 t}\left(\begin{array}{c} b \\ 1 \end{array}\right)$

     mit $ \lambda_1 = $ $ < \lambda_2 = $ und $ a = $ , $ b = $ .

Alle gesuchten Anfangswerte $ u(0)=(x_0, y_0)^{\operatorname t}$ haben die Form

     keine Angabe , $ x_0=2y_0$ , $ x_0=0$ , $ y_0=1$ , $ x_0=y_0$ .


   

(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017