Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 590: Homogene und inhomogene Schwingungsdifferentialgleichung, periodische Lösung und Resonanzfrequenz

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie für die Differentialgleichung $u^{\prime\prime}+6u^\prime+25u=f(t)$
a)
die allgemeine reelle Lösung $u_h$ der homogenen Gleichung ($f(t)=0$),
b)
die periodische Lösung $u_p$ für $f(t)=$e$^{\,{\rm {i}} \omega t},\ \omega>0$, sowie deren Realteil ${\operatorname{Re}}\,u_p$ ,
c)
die Resonanzfrequenz $\omega_*$, für die der Betrag der komplexen Amplitude $\vert u_p\vert$ maximal wird.

Antwort:

a)
$u_h(t)=$ keine Angabe ,         e$^{at}\,(c_1 \cos(bt)+c_2 \sin(bt))$  ,         $c_1$e$^{at}+c_2$e$^{bt}$

mit $a =$ ,  $b=$
b)
${\displaystyle{u_p(t)=\frac{{\text{e}}^{\,{\rm {i}} \omega t}}{a\omega^2+b {\rm {i}} \omega+c}}}$      mit     $a =$ ,  $b=$ ,  $c=$

$\operatorname{Re} u_p(t)=$      $\displaystyle{\frac{(25-\omega^2)+6\omega}{(25-\omega^2)^2+(6\omega)^2}}$ ,      $\displaystyle{\frac{(25-\omega^2)-6\omega\sin \omega t}{(25-\omega^2)^2+(6\omega)^2}}$ ,      $\displaystyle{\frac{(25-\omega^2)\cos \omega t+6\omega\sin \omega t}{(25-\omega^2)^2+(6\omega)^2}}$
c)
$\omega_* =$ $\rule{0ex}{2ex}^{1/2}$

   
(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12. 12. 2024