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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 590: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, Resonanzfrequenz


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Bestimmen Sie für die Differentialgleichung $ u''+6u'+25u=f(t)$
a)
die allgemeine reelle Lösung $ u_h$ der homogenen Gleichung ($ f(t)=0$),
b)
die periodische Lösung $ u_p$ für $ f(t)={e}^{\,{\rm {i}} \omega t},\ \omega>0$, sowie deren Realteil $ {\rm {Re}}\,u_p$,
c)
die Resonanzfrequenz $ \omega_*$, für die der Betrag der komplexen Amplitude $ \vert u_p\vert$ maximal wird.

Antwort:

a)
$ u_h(t)$ hat die Form:

     keine Angabe , $ e^{at}\,(c_1 \cos(bt)+c_2 \sin(bt))$ , $ c_1 e^{at}+c_2 e^{bt}$ , $ c_1 e^{at}+c_2 t e^{bt}$ .

Die Koeffizienten lauten $ a =$ , $ b=$ .

b)
$ {\displaystyle{u_p(t)=\frac{{e}^{\,{\rm {i}} \omega t}}{a\omega^2+b {\rm {i}} \omega+c}}}$,     mit $ a =$ , $ b=$ , $ c=$ .

$ \operatorname{Re} u_p(t)$ ist gegeben durch: keine Angabe

$ \displaystyle{\frac{(25-\omega^2)+6\omega}{(25-\omega^2)^2+(6\omega)^2}}$ , $ \displaystyle{\frac{(25-\omega^2)-6\omega\sin \omega
t}{(25-\omega^2)^2+(6\omega)^2}}$ , $ \displaystyle{\frac{(25-\omega^2)\cos \omega t+6\omega\sin \omega
t}{(25-\omega^2)^2+(6\omega)^2}}$ .
c)
$ \omega_* =$ $ \rule{0ex}{2ex}^{1/2}$


   
(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017