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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 592: Komplexe und reelle Fourier-Entwicklung von cosh, Reihenwert

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es sei

$\displaystyle f(x)=\cosh x\,,$   für$\displaystyle \ x\in [-\pi, \pi),$   und$\displaystyle \quad f(x+2\pi)=f(x),$   für alle$\displaystyle \ x\in\mathbb{R}\,. $

a)
Zeigen Sie, dass die komplexen Fourier-Koeffizienten von $ f$ die Form

$\displaystyle c_k=\frac{\alpha\,(-1)^k}{1+k^2}\,, \qquad k\in\mathbb{Z}\,, $

haben, und bestimmen Sie die Konstante $ \alpha\in\mathbb{R}$.
b)
Geben Sie die reellen Fourier-Koeffizienten $ a_k, b_k$ von $ f$ an.
c)
Berechnen Sie mit Hilfe von a) den Wert der Reihe $ {\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(1+k^2)^2}}}$.

Hinweis: $ \displaystyle{\int \cosh^2 x\,dx =\frac{x}{2}+\frac{\sinh 2x}{4}+c}$

Lösung:

a)
$ \alpha =$

(Wert auf 4 Nachkommastellen gerundet)

b)
$ a_k = $     keine Angabe , $ 2c_k$ , $ -2c_k$ ,0 .

$ b_k = $     keine Angabe , $ 2c_k$ , $ -2c_k$ ,0 .

c)
$ \displaystyle\sum_{k=1}\limits^\infty \frac{1}{(1+k^2)^2} = \frac{\bigl(a\pi+\sinh (b\pi)\bigr)\pi}{c\sinh^2\pi}+d$

     mit $ a=$ ,$ b=$ ,$ c=$ ,$ d=$ .


   
(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017