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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 605: Klassifikation von Singularitäten, Residuenberechnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie den Typ der Singularitäten der folgenden Funktionen sowie die zugehörigen Residuen.
a) $ f(z)=\displaystyle \frac{z+2}{{z^2+2z+5}}$                 b) $ f(z)=\displaystyle \frac{1}{{ z^2( 1-{e}^{2 \pi \textrm{i}z})}}$
c) $ f(z)=\displaystyle \frac{ \cos z -1}{{z^6}}$                 d) $ f(z)=\displaystyle \frac{ 1}{{ \sin z - \cos z}}$

Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet, nicht benötigte Kästchen bleiben frei):

a)
$ f$ besitzt Singularitäten bei

$ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,         $ z_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$

(nach aufsteigendem Imaginärteil sortiert). Dabei ist

$ z_1$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$
$ z_2$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$

Residuen:          $ \underset{z_1}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,          $ \underset{z_2}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ .

b)
$ f$ besitzt im Inneren des Kreises $ K: \left\vert z-\frac{1}{2}\right\vert<1$ Singularitäten bei

$ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,         $ z_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$

(nach aufsteigendem Realteil sortiert). Dabei ist

$ z_1$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$
$ z_2$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$

Residuen:          $ \underset{z_1}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,          $ \underset{z_2}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ .

c)
$ f$ besitzt bei $ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ eine(n)

keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$

Residuum:          $ \underset{z_1}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ .

d)
$ f$ besitzt im Inneren des Kreises $ K: \left\vert z-2\right\vert<2$ Singularitäten bei

$ z_1=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,         $ z_2=$ $ +$ $ {\rm {i}}$

(nach aufsteigendem Realteil sortiert). Dabei ist

$ z_1$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$
$ z_2$  keine Angabe ,  schwache Singularität ,  wesentliche Singularität ,  Pol $ n$-ter Ordnung mit $ n=$

Residuen:          $ \underset{z_1}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ ,          $ \underset{z_2}{\operatorname{Res}}\; f=$ $ +$ $ {\rm {i}}$ .


   

(Aus: HM IV, SS 2004)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017