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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 629: Matrixdarstellungen von linearen Abbildungen auf quadratintegrierbaren periodischen Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Geben Sie für die abgebildete Funktion $ p$
\includegraphics{g235_bild1.eps}
die Matrix-Darstellungen der linearen Abbildungen $ L: L^2_{2\pi}\longrightarrow L^2_{2\pi}$, mit
a)     $ (Lf)(x)=f(p(x))$                  b)     $ (Lf)(x)=f(x+p(x))$                 c)     $ (Lf)(x)=f(xp(x))$
bezüglich der komplexen Fourier-Basis $ e_k(x)=\mathrm{e}^{\,\mathrm{i}kx}$, $ k\in\mathbb{Z}$, von $ L^2_{2\pi}$ an.


Antwort:

Komplexe Fourier-Koeffizienten von $ p(x)={\displaystyle{\sum_{k\in\mathbb{Z}} c_k\,{\rm {e}}^{\,{\rm {i}} kx}}}$:
$ c_0={}$,
$ c_k={}$, für gerade $ k\neq 0$,
$ c_k={}$ $ \mathrm{i}/k$, für ungerade $ k$.
(auf vier Nachkommastellen gerundet)
Matrix-Darstellung:

1) $ a_{j,k}=c_{j}+c_{j-k}$   2) $ a_{j,k}=\overline{c_{j}}+c_{j-k}$   3) $ a_{j,k}=c_{j}+\overline{c_{j-k}}$        
4) $ a_{j,k}=c_j+{\rm {e}}^{{\rm {i}} k}\,c_j$   5) $ a_{j,k}=\overline{c_j}+{\rm {e}}^{{\rm {i}} k}\,c_j$   6) $ a_{j,k}=c_j+{\rm {e}}^{{\rm {i}} k}\,\overline{c_j}$        
7) $ a_{j,k}=c_{j-k}+{\rm {e}}^{\,{\rm {i}} k}\,c_{j-k}$   8) $ a_{j,k}=\overline{c_{j-k}}+{\rm {e}}^{\,{\rm {i}} k}\,c_{j-k}$   9) $ a_{j,k}=c_{j-k}+{\rm {e}}^{\,{\rm {i}} k}\,\overline{c_{j-k}}$        

Geben Sie jeweils die Ziffer der korrekten Darstellung der Matrix-Einträge an:
a)          b)          c)


   

(Autor: Klaus Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 26.  3. 2018