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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 655: Parameterabhängige Differentialgleichung zweiter Ordnung

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Gegeben sei die von dem reellen Parameter $ \alpha$ abhängige Differentialgleichung

$\displaystyle u''-(1+\alpha)u'+\alpha u=f(t)\; . $

a)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung $ u(t)$ der homogenen Differentialgleichung $ (f(t)=0)$ in Abhängigkeit von $ \alpha$.
b)
Berechnen Sie im Fall $ \alpha=0$ die allgemeine Lösung für $ f(t)=4\cos t$. Für welche Anfangswerte von $ u(0)$ und $ u'(0)$ ist diese Lösung auf $ [0,\infty)$ beschränkt?


Antwort:

a)
Welche der folgenden Funktionen sind bei geeigneter Wahl von $ \alpha$ Lösung der Differentialgleichung?
$ u(t)=2 \mathrm{e}^{-t}-\mathrm{e}^{t}$          $ u(t)=- \mathrm{e}^{t}+3\mathrm{e}^{-2t}$      
$ u(t)=(-3+t)\mathrm{e}^{t}$ $ u(t)=5$      
b)
Geben Sie die fehlenden Koeffizienten der allgemeinen Lösung an. Sortieren Sie dabei die in den Exponenten stehenden Koeffizienten aufsteigend.
$ u(t)=c_1\exp\big($ $ \,t\big)+c_2\exp\big($ $ \,t\big)+{}$ $ \,\cos(t)+{}$ $ \,\sin(t)+{}$ $ \,t\cos(t)$
Anfangswerte für auf $ [0,\infty)$ beschränkte Lösungen:

$ u(0)$: beliebig, spezieller Wert:

$ u'(0)$: beliebig, spezieller Wert:


   

(Autoren: Höllig/Wipper)
[Verweise] [Beispiele]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017