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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 662: Schaubild und Konvergenz von Fourier-Reihen, Reihenwert

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{rcr} -x & \text{ f''ur } & -\pi < x<0\\ x & \text{ f''ur } & 0 \leq x \leq \pi \end{array}\right.\,, $

die $ 2\pi$-periodisch auf $ \mathbb{R}$ fortgesetzt wird.
a)
Skizzieren Sie die Funktion, bestimmen Sie eventuell vorhandene Symmetrien von $ f$ und ermitteln Sie ihre Fourier-Reihe $ F(x)$.
b)
Für welche $ x\in \mathbb{R}$ konvergiert $ F(x)$ gegen $ f(x)$? Berechnen Sie die Summe der unendlichen Reihe

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2}\,,$

indem Sie die Funktion aus a) an einer geeigneten Stelle auswerten.
c)
Gegeben sei

$\displaystyle g(x)=\left\{ \begin{array}{rcr} -x-\pi & \text{ f''ur } & -\pi < ... ...{ f''ur } & x = 0\\ x & \text{ f''ur } & 0 < x \leq \pi \end{array}\right.\,. $

Für welche $ x\in \mathbb{R}$ konvergiert die Fourier-Reihe $ G(x)$ von $ g(x)$ nicht gegen $ g(x)$? Wogegen konvergiert sie in diesen Punkten?

Lösung:

a)

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k11_bild1} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k11_bild2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k11_bild3} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k11_bild4}

$ f$ besitzt die Fourierreihe

$\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_n\sin nx)$

Kreuzen sie die richtigen Koeffizienten an.

  keine Angabe 0 $ \frac{2}{n^2\pi}$ $ \frac{2}{n^2\pi}(-1)^n$ $ \frac{2}{n^2\pi}((-1)^n-1)$ $ \frac{\pi}{n^2}(-1)^n$
$ a_n$
$ b_n$

b)

$ F(x)$ konvergiert gegen $ f(x)$ für
keine Angabe
$ x=0$
$ x\in (-\pi,\pi)$
$ x\in [-\pi,\pi]$
$ x\in \mathbb{R}$

$ \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2}\ =\ \pi$
 
 
$ \Big/$

c)

$ G(x)$ konvergiert nicht gegen $ g(x)$ für
keine Angabe
$ x=0$
$ x=k\pi, k\in\mathbb{Z}$
$ x=-\pi$ oder $ x=\pi$
$ x\in \mathbb{R}$


   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H04)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017