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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 666: Geschlossene Darstellung von Taylor-Reihen, Konvergenzintervall

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Stellen Sie jede der durch die folgenden Taylor-Reihen definierten Funktionen $ f(x)$ in geschlossener Form dar und bestimmen Sie ihr Konvergenzintervall.


a) $ \displaystyle{f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{n+2}}{(n+1)!}}$          b) $ \displaystyle{f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{1-2n}\,x^{1+2n}}$          c) $ \displaystyle{f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}n(x+1)^{n-1}}$


Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet, nicht benötigte Kästchen bleiben frei):

a)
     $ f(x)=\Bigl($ $ x^2+$ $ x+$ $ \Bigr)\,\Bigl( 1-$ $ {}^{\,x} \Bigr)$

Die Reihe konvergiert für $ \ldots$

    keine Angabe ,     alle $ x\in\mathbb{R}$ ,     kein $ x\in\mathbb{R}$ ,      $ x\in (a,b)$ mit $ a=$ , $ b=$ .

b)

$ f(x)=$
$ x^2+$ $ x+$
$ \underline{\hspace*{6cm}}$
$ x^2+$ $ x+1$
Die Reihe konvergiert für $ \ldots$

    keine Angabe ,     alle $ x\in\mathbb{R}$ ,     kein $ x\in\mathbb{R}$ ,      $ x\in (a,b)$ mit $ a=$ , $ b=$ .

c)

$ f(x)=$
$ x^2+$ $ x+1$
$ \underline{\hspace*{6cm}}$
$ x^2+$ $ x+$
Die Reihe konvergiert für $ \ldots$

    keine Angabe ,     alle $ x\in\mathbb{R}$ ,     kein $ x\in\mathbb{R}$ ,      $ x\in (a,b)$ mit $ a=$ , $ b=$ .


   

(Aus: K. Höllig, Diplomvorprüfung HM I-III, Herbst 2004)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017