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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 675: Fourier-Transformation, Skalierung und Integration


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben seien die Funktionen

$\displaystyle f(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
x&\!\!\!,\quad&\text{für } \vert x\vert\leq 1 \\ 0&\!\!\!,\quad& \text{sonst}
\end{array}\right.$   und$\displaystyle \qquad\quad
g(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
1-4x^{2}&\!\!\!,\quad...
...ert\leq 1/2 \\
0&\!\!\!,\quad& \text{sonst}\qquad \qquad .
\end{array}\right.
$

a)
Bestimmen Sie mit Hilfe der Fourier-Transformation von $ f$,

$\displaystyle \hat{f}(y)=\frac{2\mathrm{i}}{y^{2}}\,(y\cos y-\sin y)\,,
$

die Fourier-Transformationen von $ g'$ und $ g$.
b)
Berechnen Sie $ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\left\vert\hat{g}(y)\right\vert^{2}dy}$ und $ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \hat{g}(y)\,dy}$.

Lösung (alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet):

a)
     $ \widehat{g'}(y)\ =\ \Bigl($ $ +$ $ {\rm {i}}\,\Bigr)\,\Bigl[\,y^m\cos\Bigl($ $ y\,\Bigr)+$ $ y^n\sin\Bigl($ $ y\,\Bigr)\Bigr],$     mit $ m=$ , $ n=$ ,

     $ \hat{g}(y)\ =\ \Bigl($ $ +$ $ {\rm {i}}\,\Bigr)\,\Bigl[\,y^m\cos\Bigl($ $ y\,\Bigr)+$ $ y^n\sin\Bigl($ $ y\,\Bigr)\Bigr],$     mit $ m=$ , $ n=$ ,

b)
     $ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\left\vert\hat{g}(y)\right\vert^{2}dy}=$ ,      $ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}
\hat{g}(y)\,dy}=$


   

(Aus: K. Höllig, Diplomvorprüfung HM III, Herbst 2004)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017