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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 676: Residuen und uneigentliches Integral einer rationalen Funktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Bestimmen Sie die Polstellen der komplexen Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{z^2}{\left(z^2+1\right)\left(z^2+4\right)}$

sowie deren Vielfachheit.
b)
Berechnen Sie in allen Polstellen $ z_n$ mit positivem Imaginärteil das Residuum der Funktion $ f(z)$. Schreiben Sie $ f(z)$ hierzu in der Form

$\displaystyle f(z)=\frac{g_n(z)}{(z-z_n)}\ . $

c)
Berechnen Sie das uneigentliche Integral

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{\big(x^2+1\big)\left(x^2+4\right)}\,\mathrm{d}x\ ,$

indem Sie die Funktion $ f(z)$ über den in der Abbildung dargestellten Weg integrieren und eine geeignete Grenzwertbetrachtung durchführen.
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{pic_weg}

Lösung:

a)
Geben Sie zuerst die betragsmäßig kleinere Nullstelle an.

         $ z_{1/2}\ =\ \pm$$ \cdot$i        Vielfachheit:

         $ z_{3/4}\ =\ \pm$$ \cdot$i        Vielfachheit:

b)

        Res $ (f,z_1)\ =\ $i$ \Big/$

        Res $ (f,z_3)\ =\ $i$ \Big/$

c)

         $ \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx\ =\ \pi\Big/$


   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017