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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 678 Variante 1: Kritische Punkte und Skizze einer Funktion zweier Veränderlicher

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Variante   
Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle f(x,y)= (1-x^2-y)(y + y^2)\ . $

Skizzieren Sie im vorgegebenen Ausschnitt der $ xy$-Ebene die Kurven mit $ f(x,y)=0$ und geben Sie an, wo $ f(x,y) >0$ (Markierung mit +) oder $ f(x,y)<0$ (Markierung mit -) ist.

\includegraphics[width=6cm]{pic_bereich}

Kreuzen Sie die richtige Skizze an.

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{pic_bereich1} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{pic_bereich2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{pic_bereich3} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{pic_bereich4}

Berechnen Sie $ f_x$ und $ f_y$.

        $ f_x\ =\ $$ xy+$$ xy^2$

        $ f_y\ =\ $$ y^2+$$ x^2y+$$ x^2+$

Tragen Sie in die unten stehende Tabelle alle kritischen Punkte von $ f$ (also alle Punkte mit $ \operatorname{grad} f = 0$ ) ein und kreuzen Sie deren Typ an. (Lassen Sie nicht benötigte Spalten leer.)

Punkt              
lokales Minimum              
lokales Maximum              
Sattelpunkt              

Geben Sie die kritischen Punkte in aufsteigender Reihenfolge an. (Beginnen Sie mit dem Punkt, der den kleinsten $ x$-Wert besitzt. Geben Sie bei gleichem $ x$-Wert den Punkt mit kleinerem $ y$-Wert zuerst an.)

$ x_1=-\sqrt{\vphantom{\frac{1}{1}}}$, $ y_1=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_2=$, $ y_2=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_3=$, $ y_3=-1\Big/\sqrt{\vphantom{\frac{1}{1}}}$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_4=$, $ y_4=1\Big/\sqrt{\vphantom{\frac{1}{1}}}$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_5=$, $ y_5=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt
$ x_6=\sqrt{\vphantom{\frac{1}{1}}}$, $ y_6=$    
keine Angabe
lokales Maximum
lokales Minimum
Sattelpunkt

Bestimmen Sie innerhalb des Quadrats $ -1 \leq x, y \leq 1 $ den maximalen bzw. den minimalen Wert von $ f .$

        minimaler Funktionswert$ \ =\ $

        maximaler Funktionswert $ \ =\ \Big($$ \Big/$ $ \Big)\sqrt{\vphantom{\frac{1}{1}}}$


  

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017