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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 679: Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Jordan-Normalform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 0&2&1\\ 1&0&0\\ -5&7&3 \end{array}\right).$

a)
Das charakteristische Polynom von $ A$ lautet

         $ \lambda^3\ +\ $ $ \lambda^2\ +\ $ $ \lambda\ +\ $

b)
Bestimmen Sie die Eigenwerte von $ A$ mit ihrer algebraischen Vielfachheit $ e_\lambda$ und geometrischen Vielfachheit $ d_\lambda$. (Hinweis: Alle Eigenwerte sind ganzzahlig.)

         $ \lambda\ =\ $,         $ e_\lambda\ =\ $,         $ d_\lambda\ =\ $

c)
Bestimmen Sie eine Jordan-Normalform $ J$ von $ A$, sowie eine Transformationsmatrix $ T$, mit $ J=T^{-1}AT$.
$ J\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$          $ T\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
1
1
0
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$

d)
Gegeben sei das DGL-System $ Y'=A Y$. Durch Transformation erhält man das System $ Z'=J Z$. Geben Sie die allgemeine Lösung $ Z_\mathrm{allg}$ des transformierten Systems an.

$ Z_\mathrm{allg}\ =\ c_1\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda x}\ +\ c_2\left(\rule{0cm}{7ex}\right.$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ \left.\rule{0cm}{7ex}\right)e^{\lambda x}\ +\ c_3\left(\rule{0cm}{9ex}\right.$
$ +$ $ x+\Big(1\Big/$$ \Big)x^2$
$ +$$ x+$$ x^2$
$ +$$ x+$$ x^2$
$ \left.\rule{0cm}{9ex}\right)e^{\lambda x}$
e)
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung $ Y_\mathrm{allg}$ des DGL-Systems.
$ Y_\mathrm{allg}\ =\ c_1\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)e^{\lambda x}\ +\ c_2\left(\rule{0cm}{7ex}\right.$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ +$$ x$
$ \left.\rule{0cm}{7ex}\right)e^{\lambda x}\ +\ c_3\left(\rule{0cm}{10ex}\right.$
$ +$ $ x+\Big(1\Big/$$ \Big)x^2$
$ +$ $ x+\Big(1\Big/$$ \Big)x^2$
$ +$ $ x+\Big(1\Big/$$ \Big)x^2$
$ \left.\rule{0cm}{10ex}\right)e^{\lambda x}$

f)
Gegeben sei ein weiteres DGL-System $ Y'=BY$. Sei

$\displaystyle Y_\mathrm{allg}=c_1 \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array... ...right)e^{-x} +c_4 \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)e^{-x}. $

Geben Sie eine Matrix $ B$ an, so dass $ Y_\mathrm{allg}$ die allgemeine Lösung des DGL-Systems ist.

$ B\ =\ \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{8ex}\right)$

   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017