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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 680: Schwerpunkt eines Körpers mit unterschiedlicher Dichte

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben seien die Körper $ M$, $ N$ und $ P$, für die gilt: Desweiteren sei die Massenfunktion (Dichte) $ d(x,y,z)=2+y$, das Vektorfeld

$\displaystyle g(x,y,z)=\left(e^x\sin z,\,1,\,e^x\cos z\right)^t $

und die Kurve $ K$ als Schnitt von $ N$ und $ P$ im Halbraum $ z\geq 0$ gegeben.
a)
Skizzieren Sie den Schnitt von $ M$ mit der $ (x,z)$-Ebene.
b)
Berechnen Sie unter Verwendung von Kugelkoordinaten die Masse und den Schwerpunkt des Körpers $ M$, wenn dieser die Massenfunktion (Dichte) $ d(x,y,z )$ besitzt.
c)
Bestimmen Sie $ \operatorname{rot} g$ und berechnen Sie

$\displaystyle \int\limits_{K} g\, \mathrm{d}x $

mit Hilfe des Satzes von Stokes.
Lösung:
a)
Wählen Sie die richtige Skizze aus.

 keine Angabe Skizze 1 Skizze 2
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k22bild1} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k22bild2}
   Skizze 3 Skizze 4
   \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k22bild3} \includegraphics[width=0.4\linewidth]{k22bild4}

b)
Masse:    $ m\ =\ $$ \pi\Big/$

Schwerpunkt:     $ S\ =\ \Big($    ,        ,    $ \Big/$$ \Big)$

c)
Rotation:     $ \operatorname{rot} g\ =\ \Big($    ,        ,    $ \Big)$

$ \displaystyle\int\limits_{K} g\, \mathrm{d}x\ =\ $


   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017