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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 681: Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, Variation der Konstanten

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Differentialgleichung

$\displaystyle y''+ay'+y=r(x),\qquad a\in\mathbb{R}.$

a)
Zunächst sei $ a=0$. Bestimmen Sie die Lösung $ y_\mathrm{hom}$ der homogenen Differentialgleichung $ y''+y=0$.

Das charakteristische Polynom lautet

         $ \lambda^2\ +\ $ $ \lambda\ +\ $

         $ y_\mathrm{hom}\ =\ $

Welche Terme kommen in der homogenen Lösung vor?
  keine Angabe ja nein
$ \sin x$
$ x\sin x$
$ \cos x$
$ x\cos x$
$ e^x$
$ e^{-x}$

b)
Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung $ y_\mathrm{p}$ der Differentialgleichung $ y''+y=\cos x$ mit Hilfe eines geeigneten Ansatzes .

Geben Sie den Ansatz an.

Wie sieht die partikuläre Lösung aus?

         $ y_\mathrm{p}\ =\ \Big($$ \Big/$ $ \Big)x\sin x\ +\ $$ x\cos x$

c)
Bestimmen Sie mit Hilfe der Variation der Konstanten eine partikuläre Lösung $ y_\mathrm{p}$ der Differentialgleichung $ y''+y=-3\sin x\cos x$.

         $ y_\mathrm{p}\ =\ $ $ \sin x\ +\ $ $ \cos x\ +\ $ $ \sin x\cos x$

d)
Für welche Werte von $ a\in\mathbb{R}$ hat die Differentialgleichung $ y''+ay'+y=0$ Lösungen der Form $ y=xe^{kx},\ k\in\mathbb{R}$?

Geben Sie zuerst den kleineren Wert an.

        $ a_1\ =\ $        $ a_2\ =\ $

Wie sehen die entsprechenden Lösungen aus?

Lösung für $ a_1$:     $ y\ =\ x\cdot e$
 
   
   
Lösung für $ a_2$:     $ y\ =\ x\cdot e$
 
   
   


   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017