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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 682: Potential eines Vektorfelds mit Parameter

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei in Abhängigkeit des Parameters $ a \in \mathbb{Z} $ das Vektorfeld $ g_a : \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} ^3$ durch

$\displaystyle g_a(x,y,z) = (az \sin (ax) , z \cos y , -a^2 \cos x + \sin y )^t.$

a)
Berechnen Sie $ \operatorname{rot} g_a$.

b)
Für welche Werte des Parameters $ a$ besitzt das Vektorfeld $ g_a$ ein Potential ?

c)
Bestimmen Sie zu dem größten $ a$ eine Potentialfunktion $ u$.

d)
Im $ \mathbb{R} ^3$ sei $ W$ die Strecke von $ (0,0,1)$ nach $ (0,0,0)$ und $ C$ der Viertelkreis um $ (0,0,2)$ mit Radius $ 1 ,$ der bei $ (1,0,2)$ beginnt und zu $ (0,0,1)$ führt. Geben Sie eine Parameterdarstellung von $ W$ und von $ C$ an.

e)
Berechnen Sie $ I_1 = \int\limits_{W} g_a \, \mathrm{d}x$ und $ I_2$ = $ \int\limits_{C} g_1 \, \mathrm{d}x$

Lösung:

a)
$ \operatorname{rot} g_a\ =\ \Big($$ a$, $ a\sin(ax)+$$ a^2\sin x$, $ a^2\Big)^t$

b)
Beginnen Sie mit dem kleinsten Wert für $ a$:

$ a\ =\ $    oder    $ a\ =\ $    oder    $ a\ =\ $

c)
$ u\ =\ $$ z\sin x+$$ z\cos x+$$ z\sin y+$$ z\cos y+c$

d)
$ W(t)\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ +$$ t$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)\ ,\quad t\in[0,1]$

$ C(t)\ =\ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)+\left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \cos t$
$ \sin t$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)\ ,\quad t\in[0,\tfrac{\pi}{2}]$

e)
$ I_1\ =\ $$ a$
 
   
   

$ I_2\ =\ $$ +$$ \cos\Big($$ \Big)$


   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017