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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 683: Lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung, autonomes System

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a)
Lösen Sie das Differentialgleichungssystem

$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{\displaystyle\mathrm{d}y}{\displaystyle\... ...{\displaystyle\mathrm{d}z}{\displaystyle\mathrm{d}x} & = & 3y+2z\\ \end{array}$

b)
Bestimmen Sie für das autonome System

$\displaystyle \begin{array}{rcl} x'(t) & = & 1\\ y'(t) & = & y+2z\\ z'(t) & = & 3y+2z \end{array}$

mit Hilfe von a) ein erstes Integral.
c)
Zeigen Sie: $ v(x,y,z)=3e^xy-2e^xz$ ist eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle v_x+(y+2z)v_y+(3y+2z)v_z =0\,. $

Bestimmen Sie eine weitere Lösung der partiellen Differentialgleichung, die z u $ v(x,y,z)$ linear unabhängig und keine Konstante ist. In welchem Zusammenhang

steht das autonome System von Teil b) zu dieser partiellen Differentialgleichung?

Lösung:

a)
Charakteristisches Polynom:         $ \lambda^2+$$ \lambda+$

Eigenwerte: (Beginnen Sie mit dem größeren Eigenwert)

         $ \lambda_1\ =\ $         $ \lambda_2\ =\ $

Eigenvektoren:
zu $ \lambda_1$:         $ v_1=\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ 2$  
 
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)$
zu $ \lambda_2$:         $ v_2=\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ 1$  
 
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)$

$ \left(\begin{array}{c}z\\ \\ \\ y\end{array}\right)= \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
  $ x$     $ x$
$ e$     $ e$  
            
  $ x$     $ x$
$ e$     $ e$  
$ \left.\rule{0cm}{8ex}\right) \left(\begin{array}{c}c_1\\ \\ \\ c_2\end{array}\right)$

b)
Erstes Integral:

$ u_1=\dfrac15\Big($
  $ x$   $ x$
$ ye$   $ +\quad$$ ze$  
$ \Big)$
$ u_2=\dfrac15\Big($
  $ x$   $ x$
$ ye$   $ +\quad$$ ze$  
$ \Big)$


   
(Aus: Prüfung HM III Kimmerle H04)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017