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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 77: Jordan-Normalform einer Matrix

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Die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} 10 & -5 & 9 & 7 \\ 0 & 3 & 0 & -1 \\ -4 & 2 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \end{array} \right) $

besitzt einen ganzzahligen Eigenwert $ \lambda$ mit algebraischer Vielfachheit $ 4$ . Bestimmen Sie diesen Eigenwert:

$ \lambda = $ .

Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ . Beginnen Sie oben mit dem größten Jordan-Kästchen:

$ J= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Ergänzen Sie bei den folgenden drei Vektoren $ v_{1}$ , $ v_{2}$ und $ v_{3}$ die noch fehlenden Einträge durch Elemente aus $ \{-2,-1,0,1,2\}$ so, daß sie Eigenvektoren von $ A$ sind:

$ v_{1}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ , $ v_{2}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ , $ v_{3}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Wählen Sie für die noch offenen Einträge in folgender Matrix $ T$ Elemente aus $ \{-2,-1,0,1,2\}$ so, daß $ T$ die Matrix $ A$ auf Normalform transformiert, also $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 2$ $ 2$ $ 2$
$ -2$ $ -2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017