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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 83: Inhomogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Jordan-Normalform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei das inhomogene Differentialgleichungssystem $ Y'=AY+B(x)$ .

$\displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 9 & -5 & -3 \\ 14 & -8 & -5 \\ 2 & ... ...= \left(\begin{array}{c} 4 e^{-x} \\ 9 e^{-x} \\ -3 e^{-x} \end{array}\right)$

a)
Berechnen Sie die Eigenwerte $ \lambda_1$ und $ \lambda_2$ der Matrix $ A$ in aufsteigender Reihenfolge.

$ \lambda_1=$          $ \lambda_2=$

Bestimmen Sie die Jordan-Normalform $ J$ zu $ A$ . Beginnen Sie mit dem Wert $ \lambda_1$ als ersten Eintrag.

$ J= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Vervollständigen Sie nachstehende Transformationsmatrix $ T$ , so dass $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ 1$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Berechnen Sie die Inverse Matrix $ T^{-1}$ von $ T$ .

$ T^{-1}= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

b)
Bestimmen Sie alle Lösungen des transformierten homogenen Systems $ Z'=JZ$ .

$ Z= c_1 e^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_2 e^{\lambda_2x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_3 e^{\lambda_2x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Bestimmen Sie alle Lösungen des homogenen Systems $ Y'=AY$ .

$ Y= c_1 e^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_2 e^{\lambda_2x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ x+$
$ x+$
$ x+$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_3 e^{\lambda_2x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

c)
Berechnen Sie den Störterm $ \tilde{B}$ des transformierten Systems $ Z'=JZ+\tilde{B}$ .

$ \tilde{B}= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) e^{-x}$ .

Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung des transformierten Systems $ Z'=JZ+\tilde{B}$ .

$ Z_p= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ x$ $ +$
$ x$ $ +$
$ x$ $ +$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) e^{-x}$ .

Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung $ Y_p$ des inhomogenen Systems $ Y'=AY+B(x)$ .

$ Y_p= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ x$ $ +$
$ x$ $ +$
$ x$ $ +$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) e^{-x}$ .


   

(Autor: Michael Knödler)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017