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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 892: Allgemeine Lösung eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems, Jordan-Normalform und stabile Anfangswerte

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Transformieren Sie die Matrix

$\displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 5 & -3 & 0 \\ 6 & -4 & 0 \\ 8 & -7 & 2 \end{array}\right) $

auf Jordan-Normalform $ J=Q^{-1}AQ$. Bestimmen Sie damit die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems $ u^\prime=Au$, sowie alle Anfangswerte $ u(0)$ mit $ \lim\limits_{t\to \infty} u(t)= (0,0,0)^\mathrm{t}$.

Antwort:
Eigenwerte: $ \lambda_{1/2}=$ ,          $ \lambda_3=$
Eigenvektoren:
$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
,         
$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Hauptvektor:
$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Allgemeine reelle Lösung:
$ u=c_1e^{\lambda_{1/2}t}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)+ c_2$e$ ^{\lambda_{1/2}t}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ t+1$
$ t+$
$ t$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)+ c_3$e$ ^{\lambda_3t}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Ein Anfangswert mit $ \lim\limits_{t\to \infty} u(t)= (0,0,0)^\mathrm{t}$ ist $ u(0)= (7\,,\quad$,    $ )$.


   

(Autor: K.Höllig)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 12.  3. 2018