Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 917: Rechnen mit komplexen Zahlen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es seien die komplexen Zahlen $ x=3+4\,\mathrm{i}$ sowie $ y=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{i}$ und $ z=\frac{4}{5}+\frac{2}{7}\,\mathrm{i}$ gegeben.

a)
Berechnen Sie $ x\cdot\Bar{x}$, $ \frac{1}{2}\left(y-\Bar{y}\right)$, $ \frac{1}{2}\left(y+\Bar{y}\right)$. Was fällt Ihnen auf (denken Sie an Betrag, Real- und Imaginärteil)? Ist das auch allgemein gültig?

Geben Sie die Lösungen in gekürzter Form an und schreiben Sie gegebenenfalls bei Brüchen das negative Vorzeichen in den Zähler des Bruchs.

$ x\cdot\Bar{x}$ = $ +$ $ \mathrm{i}$,
$ \frac{1}{2}\left(y-\Bar{y}\right)$ = $ +$ $ \sqrt{2}$ $ \mathrm{i}$,
$ \frac{1}{2}\left(y+\Bar{y}\right)$ = $ \sqrt{2}$ $ +$ $ \mathrm{i}$.

b)
Bestimmen Sie weiter $ y^2$, $ y^3$, $ x-z$, $ x+\Bar{y}$ und $ \frac{\displaystyle y}{\displaystyle x}$ sowie $ x\cdot\Bar{z}$.

Verfahren Sie bei der Angabe der Lösungen wie im ersten Teil der Aufgabe:

$ y^2$ =   $ +$ $ \mathrm{i}$,
$ y^3$ = $ \sqrt{2}$ $ +$ $ \sqrt{2}$ $ \mathrm{i}$,
$ x-z$ =   / + $ \big($ / $ \big)$ $ \mathrm{i}$,
$ x+\Bar{y}$ =   (+$ \sqrt{2}$) / $ +$ $ \big($($ +$ $ \sqrt{2}$) / $ \big)$ $ \mathrm{i}$,
$ \frac{\displaystyle y}{\displaystyle x}$ = $ \sqrt{2}$ / $ +$ $ \sqrt{2}$ $ \big($ / $ \big)$ $ \mathrm{i}$,
$ x\cdot\Bar{z}$ =   / $ +$ $ \big($ / $ \big)$ $ \mathrm{i}$.


   

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/06)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 10.  8. 2017